Control Theory

주요개념

시간 영역과 주파수 영역
제어이론을 사용하여 제어기(controller)를 만들기 위해서는 우선 제어 대상이 되는 시스템을 수학적으로 표현하는 것이 필요하다. 이때 이를 시간에 대한 함수로 표현할 수도 있고 주파수에 대한 함수로 표현할 수도 있다. 시스템을 '''시간 영역(time domain)'''에서 표현한다는 것은 시간에 대한 함수로 나타낸다는 것을 의미한다. 한편 '''주파수 영역(frequency domain)'''에서 표현한다는 것은 이를 주파수에 대한 함수로서 나타낸다는 의미이다. 예를 들어 그림과 같은 질량-스프링 시스템을 생각해 보자. 이 시스템을 시간 영역에서 표현하면 다음과 같은 2차 미분 방정식이 된다. $$m\frac{d^{2}x(t)}{d{t}^2}+kx(t)=f(t)$$ 이것은 외부의 힘 $f$가 시간에 따라 어떻게 변화하는지가 주어질 때, 질량 $m$의 위치 $x$는 시간에 따라 어떻게 바뀔 것인지를 나타내는 식이다. 한편 위 식을 라플라스 변환(Laplace transform)함으로써, 같은 시스템을 다음과 같이 주파수 영역에서의 식으로 나타낼 수도 있다. $$m{s}^{2}X(s)+kX(s)=F(s)$$ 이것은 외부의 힘이 주파수에 따라 어떻게 다른지가 주어질 때, 질량 $m$의 위치 거동은 주파수에 따라 어떻게 될 것인지를 나타내는 식이다.
Time-variant vs Time-invariant
시불변 시스템은 시스템의 모델 파라미터가 시간에 따라 변하지 않음을 의미한다. 시간과 상관없이 같은 입력값을 시스템에 넣으면, 과거든 현재든 미래든 같은 출력 결과값을 내주는 시스템을 시불변 시스템이라 한다. 시변 시스템은 이러한 성질이 성립하지 않는 시스템으로 시스템 자체의 성질이 시간에 따라 변한다고 볼 수 있다.
Continuous vs discrete
연속시간시스템은 시스템의 입력과 출력이 시간에 대한 연속적인 함수로 나타난다. 따라서, 시간의 흐름이 연속된 실수로 표현되므로 아주 작은 시간 간격 안에도 무수히 많은 입력 출력값이 존재할 수 있다. 수학적으로 표현한 물리적 시스템과 해석적으로 구한 해들은 대부분 연속 시간 시스템이다. 이산시간시스템은 시스템의 입력과 출력이 시간에 대해 분절된 형태로 나타나다. 즉 하나의 입력과 출력은 일정하게 구분된 시간 간격마다 존재하며 kth 번째와 같이 주어진 시간 동안의 입력에 대한 출력의 세트들을 유한한 정수 개로 구분하여 셀 수 있다.